Blinn Phongの正規化

以前の記事でPhongの正規化を行いましたが、これと同様に、Blinn-Phongモデルの正規化を行ってみたいと思います。

Blinn Phongの正規化

Blinn-Phongは、ライトベクトルと、観測者ベクトルの中間のハーフベクトル(H)と法線ベクトルの成す角が必要になります。これも、無条件では積分するのは難しそうなので、前回のPhongの場合と同様に、照射ベクトルは法線方向からという条件で積分してみたいと思います。反射ベクトルと法線ベクトルが同一となり、ハーフベクトルの成す角は、観測者と法線の成す角の丁度半分となります。
したがって、下記の様になります。

次に半角の公式を使い、t=cosθとして、置換積分します。

となります。積分の部分をIとします。

tを微分、残る部分を積分に回して、部分積分します。今回はそのまま定積分します。

元の式に代入して、以下の様になります。

この式は一見すると複雑ですが、なんとなく反比例の式に支配されている気がします。
ちょっとフィッティングしてみました。

このフィッティングが許容できるなら、


と書くことが出来ます。そもそもこの積分には、照射が法線方向からという限定条件がついています。(これもおそらく最大値になるはずです。)ですので、もう少し小さな値にフィッティングしたほうがいいかも知れません。

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